Z geometrią za pan brat

W dzisiejszych czasach do matematyki zalicza się niezliczona ilość dyscyplin, które nieraz bardzo się od siebie różnią, do pewnego stopnia tworzą wręcz odrębne światy – aczkolwiek nieraz okazuje się, że paradoksalnie przenikają się ze sobą w najbardziej nieoczekiwanych miejscach i momentach. Tak czy inaczej długa lista matematycznych dyscyplin obejmuje m.in. arytmetykę i teorię liczb, algebrę liniową i tzw. abstrakcyjną, analizę matematyczną (która sama w sobie jest gigantycznym oceanem), rachunek prawdopodobieństwa i statystykę, topologię, teorię zbiorów czy geometrię.

Ta ostatnia może być bardzo skomplikowana, jeśli chodzi o stosowany w niej aparat matematyczny – często bywa on bowiem zaczerpnięty z rachunku różniczkowego, a celem matematyka jest opisanie badanych obiektów za pomocą precyzyjnych wzorów.

W początkach nauki nie posługiwano się jednak ani rachunkiem całkowym i pochodnymi, ani nawet kartezjańskim układem współrzędnych. Mogłoby się zresztą wydawać, iż w matematyce podstawą są liczby – liczby naturalne w szczególności – i tak do pewnego stopnia jest, ale w gruncie rzeczy wszystko zaczęło się od geometrii. Zauważmy, że wiele twierdzeń, które dziś znamy w precyzyjnej postaci, starożytni Grecy formułowali przy użyciu figur geometrycznych. Przykładem może być tu dowód niewymierności pierwiastka z liczby 2. Co więcej, bardzo ważnymi zagadnieniami dla Greków były konstrukcje geometryczne.

Podczas studiów matematycznych może się niestety okazać, że zapomnimy o podstawach – lub raczej: o złożonych zagadnieniach wykorzystujących jedynie podstawowy, szkolny aparat matematyczny. Paradoksalnie może dojść do sytuacji, w której student będzie rozwiązywał podczas sprawdzianu zadania, owszem, oparte na wyższej matematyce, złożonych twierdzeniach i nowatorskich teoriach, ale będzie się od niego wymagać jedynie zastosowania wyprowadzonego już wzoru. W skrajnych przypadkach zagadnienie może zostać sprowadzone do obliczenia całki oznaczonej po odcinku [1; 0] z funkcji eksponencjalnej…

Tymczasem warto pamiętać, że intrygujące zagadki, ciekawe twierdzenia i piękne dowody możliwe są także przy ograniczeniu się do stosunkowo prostych metod, nie wykraczających zbytnio poza standard szkoły średniej. Możliwe jest to zwłaszcza w obszarze geometrii, czego dowodzą autorzy książki „Z geometrią za pan brat” – prof. Włodzimierz Krysicki, dr Helena Pisarewska i prof. Tadeusz Świątkowski. Niepozorna książka liczy 340 stron wypełnionych zarówno ciekawymi zadaniami, jak i rozwiązaniami oraz omówieniami rozmaitych problemów. Rzecz zaczyna się od „kilku słynnych zagadnień starożytności”, takich jak problemy podwojenia sześcianu, podziału kąta na trzy równe części czy kwadratury koła. Później prof. Krysicki omawia geometrię na sferze, rozważając różnice między stopniami, radianami i gradusami, wyjaśniając tajemnice trójkątów i wielokątów sferycznych. Kolejny aspekt publikacji to wieloboki, a ściślej: ich mało znane właściwości. Analogiczny rozdział poświęcony jest wielościanom. Tadeusz Świątkowski omawia zagadnienia geometrii analitycznej w kontekście iloczynu skalarnego oraz przestrzeni wektorowej i afinicznej, wiążąc ów temat z fizyką. Pokazuje także sekrety twierdzenia Pitagorasa, gdy tymczasem H. Pisarewska przybliża czytelnikowi rozliczne krzywe płaskie (cykloidy, epicykloidy i hipocykloidy).

Książka wykracza nieco poza zakres szkoły średniej, przynajmniej współczesnej, ale nie powinno być to problemem – poszczególne rozdziały są pisane bowiem w sposób przystępny, a tyczy się to także tych, które omawiają liczby zespolone, krzywe stożkowe czy nawet zagadnienia nieskończoności. Pod koniec docieramy nawet do arcyciekawych zagadnień teorii miary…

B. Garga

W. Krysicki, H. Pisarewska, T. Świątkowski, „Z geometrią za pan brat”, Akapit Press 2000